单房间采暖，用"分压公式"就能估出室温（供水温度与室外温度按各自传热能力加权，详见《室温上不去该换暖气片还是加保温》）。可一旦房子有好几个房间，且房间之间隔着墙也会传热，单房间公式就不够用了——每个房间的温度都同时被邻居"拽着"。要一次把全套房间的温度算准，得把问题写成 n 元一次方程组，用矩阵统一求解。下面用三间房把这套方法讲透。
一、多房间稳态热平衡怎么列方程
设房子有 n 个房间，房间 i 有供暖功率 Q_i（暖气片或地暖）、与室外传热系数 UA_i^out、与相邻房间 j 隔着墙的传热系数 UA_ij。稳态时房间 i "进的热等于出的热"：供暖热量加上邻居漏进来的热，等于它散给室外的热，即 Q_i + Σ_j UA_ij(t_j − t_i) = UA_i^out·(t_i − t_out)。把含温度的项移到左边、常数挪到右边，得到房间 i 的方程：(Σ_j UA_ij + UA_i^out)·t_i − Σ_j UA_ij·t_j = Q_i + UA_i^out·t_out。给每个房间各写一条，就是 n 条联立方程。
二、写成矩阵形式 A·t = b
把未知量 t_1…t_n 排成一列向量 t，所有方程的系数排成 n×n 矩阵 A，右端常数排成向量 b，整体就是 A·t = b。A 的对角线元素 A_ii = Σ_j UA_ij + UA_i^out，是"本房间总漏热能力"；非对角 A_ij = −UA_ij，是和邻居的耦合，负号表示热量从 i 流向 j。这种矩阵有两个好性质：它关于对角线对称（UA_ij = UA_ji），而且对角占优（对角项不小于同行非对角绝对值之和）。数学上这保证 A 可逆、方程组有唯一解；物理上对应"温度场一定稳定收敛，不会越算越离谱"。
三、怎么解：高斯消元或矩阵求逆
解 A·t = b 常用两种做法。一是构造增广矩阵 [A | b]，用初等行变换（两行交换、某行乘常数、两行相加消元）把它化成上三角阵，再自下而上回代得到 t，这就是高斯消元法，计算量约 O(n³)。二是直接求逆 t = A⁻¹·b，适合要反复换参数（改供暖功率、改室外温度）的场景——只需算一次 A⁻¹，之后每套参数做一次矩阵乘法即可。对采暖这种房间数不大（几间到几十间）的网络，普通消元完全够用；只有整栋楼、整个小区那种大规模网络才需要雅可比、高斯-赛德尔等迭代法。
四、一个三房间算例（数值自洽）
取客厅、卧室、书房三间，室外 −5℃，各房供暖 Q = [1500, 1000, 700] W，与室外传热 UA^out = [60, 40, 30] W/K，客厅↔卧室隔墙 UA=15、卧室↔书房隔墙 UA=10 W/K。代入上式得到 3×3 方程组，高斯消元解得 t ≈ [20.0, 19.8, 18.7]℃。规律很直观：供暖最多、对外传热也最大的客厅最暖，末端书房最凉。把书房供暖从 700W 降到 300W 再算一次，得到 t ≈ [19.8, 19.1, 14.1]℃——书房自己掉了约 4.6℃，卧室被"拽"下约 0.7℃，客厅几乎不动。
五、物理意义：为什么调低一间会凉到邻室
矩阵里的非对角项 −UA_ij，就是"房间之间的热耦合"。上面的算例已经说明：调低书房的供暖，不只会让书房变凉，还会通过隔墙把卧室也拉低一点——这正是矩阵法比单房间分压公式强的地方，它自动把"邻居效应"算了进去。而对角占优保证了这种扰动不会失控放大：你关掉一间，邻室只会温和地掉几度，不会连锁崩塌。
六、它和前两篇是同一条直线上的
这套矩阵法，是"地暖盘管水温沿程衰减"（把管道分成若干段、每段一个温度、组成一维三对角方程组）和"两组并联回路流量分配"（两个未知量、用克莱姆法则闭式求解）的自然推广：把"沿管道"换成"房间节点网络"，把"2 个未知量"换成"n 个房间"。三者同属矩阵/线性代数族，只是维度和结构不同。
